Hipotrokoid

Kırmızı eğri, küçük siyah çember büyük mavi çemberin içinde yuvarlanırken çizilen bir hipotrokoiddir (parametreler R = 5, r = 3, d = 5).

Geometride hipotrokoid, R yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanan r yarıçaplı bir çembere bağlı olan bir nokta tarafından izlenen bir yuvarlanma eğrisidir, burada nokta iç çemberin merkezinden d kadar bir mesafededir.

Bir hipotrokoid için parametrik denklemler şu şekildedir:[1]

x ( θ ) = ( R − r ) cos ⁡ θ + d cos ⁡ ( R − r r θ ) y ( θ ) = ( R − r ) sin ⁡ θ − d sin ⁡ ( R − r r θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}}

burada θ yatay ile yuvarlanan dairenin merkezinin oluşturduğu açıdır (bunlar kutupsal denklemler değildir çünkü θ kutupsal açı değildir). Radyan cinsinden ölçüldüğünde, θ 0 ile 2 π × EKOK ⁡ ( r , R ) R {\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {EKOK} (r,R)}{R}}} arasında değerler alır (burada EKOK, en küçük ortak katı ifade eder).

Özel durumlar arasında d = r ile hiposikloid ve R = 2r ve d ≠ r ile elips bulunur.[2] Elipsin eksantrikliği şöyledir:

e = 2 d / r 1 + ( d / r ) {\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}

d = r {\displaystyle d=r} olduğunda bu değer 1 olur (bkz. Tusi çifti).

Elips (kırmızı ile çizilmiştir), R = 2r (Tusi çifti) ile hipotrokoidin özel bir durumu olarak ifade edilebilir; burada R = 10, r = 5, d = 1.

Klasik spirograf oyuncağı, hipotrokoid ve epitrokoid eğrilerinin izini sürer.

Hipotrokoidler, döngüsel korelasyonlara sahip bazı rastgele matrislerin özdeğerlerinin desteğini tanımlar.[3]

Ayrıca bakınız

  • Sikloid
  • Siklogon
  • Episikloid
  • Rosetta (yörünge)
  • Kubbemsi yalpalanma
  • Spirograf

Kaynakça

  1. ^ J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curvesÜcretsiz kayıt gerekli. Dover Publications. ss. 165-168. ISBN 0-486-60288-5. 
  2. ^ Gray, Alfred (29 Aralık 1997). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Second (İngilizce). CRC Press. s. 906. ISBN 9780849371646. 
  3. ^ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 Temmuz 2019). "Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations". Physical Review E. 100 (1). s. 010302. arXiv:1812.07055 $2. Bibcode:2019PhRvE.100a0302A. doi:10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID 31499759. 

Dış bağlantılar