Hacim integrali

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Ortalama değer teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan
g t d

Hacim integrali çok değişkenli kalkülüsteki çokkatlı integralin 3 boyutlu durumudur. Hacim integrali fizikte önemli bir yere sahiptir. Özellikle yoğunlukların hesabı için kullanılır.

Kartezyen koordinat sisteminde

Hacim integrali ${\displaystyle D\subset R^{3}}$ bölgesinde tanımlı ${\displaystyle f(x,y,z)}$ fonksiyonunun üç katlı integrali anlamına da gelir. Şu şekilde yazılır:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)dxdydz}$

Bu integral silindirik koordinat sisteminde şöyle yazılır:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(p,\varphi ,z)pdpd\varphi dz}$

Küresel koordinat sisteminde ise şöyle bir yazım mevcuttur:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi }$

Örnek

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

${\displaystyle \iiint f(x,y,z).dx.dy.dz}$=${\displaystyle \iiint 1.dx.dy.dz}$=${\displaystyle \int _{0}^{1}dx\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{1}dz}$=1

Fizikte

${\displaystyle m=\iiint \rho dV}$

Burada ${\displaystyle m}$ kütle,${\displaystyle \rho }$ kütle yoğunluğu (birimi=kg/m^3)

Aynı şekilde farklı büyüklüklerin yoğunluğu alınabilir.Örneğin,yük yoğunluğu gibi.