Lemat Riesza

Zobacz też: twierdzenie Riesza.

Lemat Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli ${\displaystyle Y}$ jest właściwą, domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ to dla każdego ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ istnieje taki element ${\displaystyle x\in X,}$ że

${\displaystyle \|x\|=1}$

oraz

${\displaystyle \|x-y\|\geqslant \alpha }$

dla wszelkich ${\displaystyle y\in Y.}$ Innymi słowy

${\displaystyle d(x,Y)\geqslant \alpha ,}$

gdzie ${\displaystyle d(x,Y)}$ oznacza odległość punktu ${\displaystyle x}$ od podprzestrzeni ${\displaystyle Y.}$

Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w 1918 przez Frigyesa Riesza w przypadku przestrzeni Hilberta^[1]. Udowodniono również wersję lematu Riesza dla przestrzeni nad ciałami z nietrywialnymi waluacjami rzędu 1^[2].

Dowody

• Ponieważ ${\displaystyle Y}$ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle X,}$ z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że jest ona zawarta w jądrze funkcjonału liniowego ${\displaystyle f}$ o normie 1 na przestrzeni ${\displaystyle X,}$ tj. ${\displaystyle f(y)=0}$ dla wszelkich ${\displaystyle y\in Y.}$ Niech ${\displaystyle x\in X}$ będzie takim elementem o normie 1, że ${\displaystyle f(x)\geqslant \alpha .}$ Wówczas

${\displaystyle \|x-y\|\geqslant |f(x)-f(y)|=|f(x)-0|=|f(x)|\geqslant \alpha \quad (y\in Y),}$

co kończy dowód^[3].

• Niech ${\displaystyle v\in X\setminus Y}$ oraz niech

${\displaystyle a=d(v,Y)=\inf _{y\in Y}\|v-y\|.}$

Ponieważ podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest domknięta, ${\displaystyle a>0.}$ Z definicji infimum wynika istnienie takiego elementu ${\displaystyle y_{0}\in Y,}$ że

${\displaystyle a<\|v-y_{0}\|<{\frac {a}{\alpha }}.}$

Niech ${\displaystyle x=c(v-y_{0}),}$ gdzie

${\displaystyle c={\frac {1}{\|v-y_{0}\|}}.}$

Wówczas ${\displaystyle x}$ ma normę 1. Ponadto, dla każdego ${\displaystyle y\in Y}$

${\displaystyle \|x-y\|=\|c(v-y_{0})-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|.}$

W szczególności,

${\displaystyle y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y\in Y,}$

a zatem

${\displaystyle \|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant a.}$

Stąd,

${\displaystyle \|x-y\|=c\|v-(y_{0}+{\tfrac {1}{c}}y)\|\geqslant ca={\frac {a}{\|v-y_{0}\|}}\geqslant {\frac {a}{a/\alpha }}=\alpha ,}$

co kończy dowód^[4].

Uwagi

• W przypadku gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią refleksywną, teza lematu Riesza zachodzi również dla ${\displaystyle \alpha =1.}$ Rzeczywiście, podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest zawarta w jądrze funkcjonału ${\displaystyle f}$ o normie 1, ale funkcjonały liniowe i ciągłe na przestrzeniach refleksywnych osiągają swoją normę, tj. dla danego ${\displaystyle f\in X^{*}}$ o normie 1, istnieje taki element ${\displaystyle x\in X,}$ że ${\displaystyle f(x)=1.}$ Wówczas

${\displaystyle \|x-y\|\geqslant |f(x)-f(y)|=|f(x)-0|=|f(x)|=1\quad (y\in Y).}$

Prawdziwość tezy lematu Riesza dla ${\displaystyle \alpha }$ = 1 charakteryzuje przestrzenie refleksywne. Rzeczywiście, jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią nierefleksywną to z twierdzenia Jamesa wynika istnienie takiego funkcjonału ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle X}$ o normie 1, który nie osiąga swojej normy. Niech ${\displaystyle Y}$ będzie jądrem ${\displaystyle f.}$ Wówczas ${\displaystyle Y}$ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Ponieważ ${\displaystyle f}$ nie osiąga swojej normy, nie istnieje żaden taki element ${\displaystyle x\in X}$ o normie 1, że ${\displaystyle d(x,Y)=1}$^[5].

• Ze zwartości kuli jednostkowej w skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej wynika, że teza lematu Riesza zachodzi ${\displaystyle \alpha =1}$ w przypadku, gdy podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest skończenie wymiarowa. Rzeczywiście, podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest domknięta, będąc skończenie wymiarową podprzestrzenią ${\displaystyle X.}$ Niech ${\displaystyle z\in X\setminus Y.}$ Wówczas ${\displaystyle a=d(z,Y)>0.}$ Stąd ${\displaystyle d(a^{-1}z,}$ ${\displaystyle a^{-1}Y)=d(a^{-1}z,Y)=1.}$ Wynika stąd istnienie takiego ciągu ${\displaystyle (y_{n})}$ elementów przestrzeni ${\displaystyle Y,}$ że

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|y_{n}-a^{-1}z\|=1.}$

Ponieważ ciąg ${\displaystyle (y_{n})}$ jest ograniczony, a ${\displaystyle Y}$ skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika istnienie podciągu ${\displaystyle (y_{n}k)}$ ciągu ${\displaystyle (y_{n}),}$ który jest zbieżny do pewnego ${\displaystyle y\in Y.}$ Niech ${\displaystyle x=y-a^{-1}z.}$ Wówczas

${\displaystyle \|x\|=\|y-a^{-1}z\|=\lim _{k\to \infty }\|y_{n_{k}}-a^{-1}z\|=1.}$

Ponadto, ${\displaystyle d(x,Y)=1,}$ co kończy dowód^[6][7].

Wzmocnieniem tak sformułowanej wersji lematu Riesza jest twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana.

Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej

Lemat Riesza używa się do dowodu następującej charakteryzacji skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych:

Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta.

Zwartość kul w przestrzeniach skończenie wymiarowych wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Implikację przeciwną dowodzi się przez kontrapozycję, używając lematu Riesza.

Niech ${\displaystyle X}$ będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech ${\displaystyle x_{1}\in X}$ będzie wektorem o normie 1. Z lematu Riesza zastosowanego do ${\displaystyle Y_{1}=\operatorname {span} \{x_{1}\}}$ wynika istnienie takiego wektora jednostkowego ${\displaystyle x_{2}\in X,}$ że ${\displaystyle d(x_{2},Y_{1})\geqslant 1/2.}$ Niech ${\displaystyle Y_{2}=\operatorname {span} \{x_{1},x_{2}\}.}$ Z lematu Riesza zastosowanego do ${\displaystyle Y_{2}}$ wynika istnienie takiego wektora jednostkowego ${\displaystyle x_{3}\in X,}$ że ${\displaystyle d(x_{3},Y_{2})\geqslant 1/2.}$ Kontynuując ten proces rekurencyjnie, otrzymuje się ciąg wektorów jednostkowych ${\displaystyle (x_{n})}$ w ${\displaystyle X}$ o tej własności, że odległości pomiędzy różnymi wyrazami tego ciągu wynoszą co najmniej 1/2. Ciąg ten zatem nie ma podciągu zbieżnego, a więc kula jednostkowa przestrzeni ${\displaystyle X}$ nie jest zwarta^[6][8].

Wzmocnieniami udowodnionego wyżej wniosku z lematu Riesza są twierdzenie Kottmana i twierdzenie Eltona-Odella.

Przypisy

Bibliografia

• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
• Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
• Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.