Théorème d'arrêt de Doob
Le théorème d'arrêt de Doob est un résultat important en théorie des probabilités : il permet, par exemple, d'obtenir des renseignements, parfois explicites, sur la loi des temps d'atteinte. Le théorème d'arrêt de Doob est dû à Joseph Leo Doob.
Énoncé
On considère un processus stochastique .
Théorème — (a) Supposons que X est une surmartingale, et que T est un temps d'arrêt. Alors, dès que l'un des 3 ensembles d'hypothèses ci-dessous est satisfait :
- (i) T est borné (i.e. il existe un entier N tel que, pour presque tout tout ω, ) ;
- (ii) X est borné (i.e. il existe un réel K tel que, pour tout n et presque tout ω, ) et, de plus, T est presque sûrement fini;
- (iii) T est intégrable, et il existe un réel K tel que pour tout n et presque tout ω,
- il suit que XT est intégrable, et que
![{\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]\leq \mathbb {E} [X_{0}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b008b02d7d854aa05807062d5983023409f06c05)
(b) Si n'importe lequel parmi les 3 ensembles de conditions (i) ... (iii) est satisfait et si X est une martingale, alors
![{\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]=\mathbb {E} [X_{0}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac49697f22a71fefa73b82de4bfb04b4c372e0f2)
Bibliographie
- (en) David Williams, Probability with martingales, Cambridge, Cambridge University Press, , 1re éd., 266 p. (ISBN 0-521-40455-X), p. 100.
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