Hipotrocoide

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues hipó (ὑπό , «sota») i trokhos (τρόχος, «roda»).

  • Hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5)
    Hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5)
  • L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1
    L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Johann Bernoulli el 1725.

Equacions

Sent q = a b {\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}} (on q > 1 {\displaystyle q>1} ) i d = k b {\displaystyle d=kb} , amb circumferència directriu de radi a , i circumferència generatriu de radi b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

Z = ( a b ) i i t + d ′ − i ( q − 1 ) t {\displaystyle Z=(ab)i^{it}+d'^{-i(q-1)t}\,}

on:

Q Z = a [ ( q − 1 ) i i t + k e − i ( q − 1 ) t ] {\displaystyle QZ=a[(q-1)i^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}
Q ( x + I i ) = a ( q − 1 ) cos ⁡ ( t ) + i a ( q − 1 ) sin ⁡ ( t ) + a k cos ⁡ [ ( q − 1 ) t ] − i a k sin ⁡ [ ( q − 1 ) t ] {\displaystyle Q(x+Ii)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

Q x = a ( q − 1 ) cos ⁡ ( t ) + c a cos ⁡ [ ( q − 1 ) t ) ] ; {\displaystyle Qx=a(q-1)\cos(t)+ca\cos[(q-1)t)];\,}
Q y = a ( q − 1 ) sin ⁡ ( t ) − c a sin ⁡ [ ( q − 1 ) t ) ] ; {\displaystyle Qy=a(q-1)\sin(t)-ca\sin[(q-1)t)];\,}

on:

Q = a b {\displaystyle Q={\dfrac {a}{b}}} i k = d b {\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}\,} .

Sabent que a = R {\displaystyle a=R} , b = r {\displaystyle b=r} i t = θ {\displaystyle t=\theta } , obtenim les equacions següents:[1]

x = ( R − r ) cos ⁡ θ + d cos ⁡ ( R − r r θ ) {\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}
y = ( R − r ) sin ⁡ θ − d sin ⁡ ( R − r r θ ) {\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}

on θ és l'angle format per l'horitzontal i el centre del cercle rodant (no són equacions polars perquè θ no és l'angle polar). Quan es mesura en radians, θ pren valors de 0 a 2 π × MCM ⁡ ( r , R ) R {\displaystyle 2\pi \times {\tfrac {\operatorname {MCM} (r,R)}{R}}} (on MCM és el mínim comú múltiple).

Curiositats

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on R = 2 r {\displaystyle R=2r} i d ≠ r {\displaystyle d\neq r} .[2] L'excentricitat de l'el·lipse és

e = 2 d / r 1 + ( d / r ) {\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}}

esdevenint 1 quan d = r {\displaystyle d=r} (vegeu parell de Tussí).

Les hipocicloides són casos particulars, on d = r {\displaystyle d=r} (el punt fix de la generatriu).

La joguina clàssica espirògraf traça les corbes hipotrocoides i epitrocoides.

Els hipotrocoides descriuen el suport dels valors propis d'algunes matrius aleatòries amb correlacions cícliques.[3]

Referències

  1. ↑ Lawrence, J. Dennis. A catalog of special plane curves (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 165–168. ISBN 0-486-60288-5. 
  2. ↑ Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (en anglès). CRC Press, 1997, p. 906. ISBN 978-0-849-37164-6. 
  3. ↑ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations» (en anglès). Physical Review E, 100(1), 16-07-2019, pàg. 010302. arXiv: 1812.07055. Bibcode: 2019PhRvE.100a0302A. DOI: 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID: 31499759.

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Hipotrocoide

Enllaços externs

  • Hypotrochoid, en Mathworld (en anglès)
  • Hypotrochoid, en Mathcurve (en francès)